Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є оборотною.
У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.
Інакше кажучи, якщо функція є оборотною й число а належить до її області значень , то рівняння має розв’язок, причому єдиний.
Оберненою до даної оборотної функції називається така функція , яка кожному із множини значень функції ставить у відповідність єдине число x з області визначення.
Якщо аргумент і функцію в записі позначити звичайним способом, отримаємо .
Графік функції g, оберненої до функції f, симетричний графіку f відносно прямої .
Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона є оборотною. Обернена до f функція g, яка визначена в області значень f, теж є зростаючою (або спадною).
Наведемо деякі приклади обернених функцій.
1. На проміжку функція є оборотною. Оберненою до неї на цьому проміжку є функція .
На рисунку зображені функція і обернена до неї функція :

2. y = arcsin x— функція, обернена до , якщо .
Отже, запис означає, що ; .
Зверніть увагу: у деяких випадках не можна назвати точного значення . Наприклад, , але для можемо знайти тільки наближене значення.
Властивості функції:
1) область визначення ;
2) область значень ;
3) функція непарна, бо — симетрична відносно 0; .
Отже, графік симетричний відносно початку координат;

4) функція не є періодичною;
5) ;
6) функція зростаюча;

7) при ,
при ;
8) найбільше значення — , якщо , найменше — , якщо .
Графік функції зображений на рисунку:

Зверніть увагу на рівності:
;;
; .
Зверніть увагу:
3. y = arccos x — функція, обернена до , якщо .
Отже, запис означає, що ; .

Властивості функціїy = arccosx:
1) ;
2) ;
3) функція не є ні парною, ні непарною;
4) функція не є періодичною;
5) , ;
6) функція спадна;
7) функція додатна на всій області визначення;
8) найбільше значення — , якщо , найменше — 0, якщо .
Графік функції зображений на рисунку:

; ;
; .
.
4. — функція, обернена до , якщо .
Запис b = arctg(a) означає: .
Властивості функціїy = arctgx:

1) ;
2) ;
3) функція непарна. симетрична відносно 0, .
Графік симетричний відносно початку координат;
4) функція не є періодичною;
5) ;
6) функція зростаюча;
7) , якщо ,
, якщо ;
8) функція не набуває найбільшого і найменшого значень.
, якщо ;
, якщо ;
.
Графік функції зображений на рисунку:

5. — функція, обернена до , якщо .
Запис означає, що ; .
Властивості функціїy = arcctgx:
1) ;
2) ;
3) функція не є ні парною, ні непарною;
4) функція не є періодичною;
5) ,
при жодному значенні х;
6) функція спадна;
7) додатна на всій області визначень;
8) функція не набуває найбільшого і найменшого значень.
Графік функції зображений на рисунку:

, ,
, ,
, .