Вектором називається напрямлений відрізок.
На рисунку зображений вектор, який можна позначити або .


Вектори і називаються однаково напрямленими, якщо однаково напрямлені півпрямі AB і CD.
Вектори і називаються протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі AB і CD.
Абсолютною величиною, або модулем вектора, називається довжина відрізка, що зображує вектор.
Позначення: або .
Вектор називається нульовим, якщо початок вектора збігається з його кінцем.
Позначення: .
Нульовому вектору не приписують ніякого напряму: .
Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перене­сенням.
Два вектори рівні тоді й тільки тоді, коли вони однаково напрямлені й рівні за абсолютною величиною.
Два ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямий або на паралельних прямих. Колінеарні вектори або однаково напрямлені, або протилежно напрямлені.
Позначення: .
Теорема. Нехай — вектор і A — довільна точка. Тоді від точки А можна відкласти один і тільки один вектор , що дорівнює вектору .

Координати векторa

Нехай вектор має початком точку , а кінцем — точку . Координатами вектора називаються числа і .
Позначення: або . .
Очевидно, що .
Теорема. Вектори рівні тоді й тіль­ки тоді, коли вони мають рівні відповідні координати.

Додавання векторів

Сумою векторів і називається вектор .
Додавання векторів має переставну та сполучну властивості:
; для будь-яких , , .
Теорема. Які б не були точки A, B, C, справджується векторна рівність:
.

Правило трикутника додавання векторів

Щоб знайти суму довільних векторів і , треба від кінця вектора (див. рисунок) відкласти вектор , що дорівнює вектору . Тоді вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець — з кінцем вектора , буде сумою векторів і .

Правило паралелограма

Для векторів із спільним початком їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з їх спільного початку (див. рисунок).

Якщо треба знайти суму кількох векторів, можна скористатися правилом многокутника (див. рисунок).

Різницею векторів і називається такий вектор , який у сумі з вектором дає вектор :
.

Теорема. Для векторів і із спільним початком .
Щоб знайти різницю векторів і , треба від однієї точки відкласти вектори в і , що дорівнюють їм (див. рисунок). Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора , а кінець — з кінцем , буде різницею і .


Тобто, якщо вектори і мають спільний початок, вектор іде з кінця від’ємника в кінець зменшуваного.

Множення вектора на число

Добутком векторана число називається вектор , тобто . Для будь-якого вектора і чисел і
.
Для будь-яких двох векторів і і числа
.
Теорема 1. Абсолютна величина вектора дорівнює . Напрям вектора , якщо , збігається з напрямом вектора , якщо , і протилежний напряму вектора , якщо .
Приклад. На рисунку зображені вектори , і :

Теорема 2. Два ненульові вектори і колінеарні тоді й тільки тоді, коли існує число таке, що .
Теорема 3. Ненульові вектори і колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні, тобто .
Теорема 4. Якщо і — відмінні від нуля неколінеарні вектори, то будь-який вектор можна записати у вигляді .

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів і називається число .
Позначення: .
. Очевидно, що .
Розподільна властивість скалярного добутку: .
Кутом між ненульовими векторами і називається кут BAC. Кутом між будь-якими двома ненульовими векторами і називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. Вважають, що кут між однаково напрямленими векторами дорівнює 0.
Теорема 1. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їхніх абсолютних величин і косинуса кута між ними: (див. рисунок).

Звідси .

Теорема 2. Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює 0.
; ; .

Розкладання вектора за координатними осями

Вектор називається одиничним, якщо його абсолютна величина дорівнює одиниці. Одиничні вектори, які мають напрями додатних координатних півосей, називаються координатними векторами,або ортами (див. рисунок).
Позначення: ; .

Оскільки координатні вектори відмінні від нуля й неколінеарні, то будь-який вектор можна розкласти за цими векто­рами:
.