Трикутники

Середня лінія трикутника

Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін.
Теорема 1. Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині.
На рисунку праворуч:
;.

У трикутнику можна провести три середні лінії. Вони утворюють трикутник з такими ж кутами, як даний, і вдвічі меншими сторонами.
На рисунку нижче ABC — трикутник; MN, NK, MK — його середні лінії.
Чотирикутники AMNK, BNKM, MNCK — паралелограми.

Теорема 2. Середня лінія трикутника ділить навпіл висоту, бісектрису, медіану трикутника, що проведені до паралельної їй сторони:

Спираючись на властивість середньої лінії, легко довести, що:
1) середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма (рисунок 1);
2) середини сторін прямокутника є вершинами ромба (рисунок 2);
3) середини сторін ромба є вершинами прямокутника (рисунок 3);

Рис. 1

Рис. 2 Рис. 3
4) середини сторін квадрата є вершинами квадрата (рисунок нижче зліва);
5) медіани довільного трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні 2?:?1, рахуючи від вершини ( і т. д.) (рисунок справа).

Теорема Піфагора

Теорема 1 (Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Правильною є і теорема, обернена до теореми Піфагора.
Теорема 2 (обернена). Коли в трикутнику сторони a, b, c і , то цей трикутник є прямокутним з гіпотенузою c.
Теорема 3. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менший за гіпотенузу.
Корисно пам’ятати довжину сторін деяких прямокутних трикутників.
Єгипетський трикутник: сторони дорівнюють 3, 4, 5 одиниць.
Тобто можливі варіанти: 3, 4, 5 або 6, 8, 10, або 3k, 4k, 5k, де k ? N.
Також прямокутними є трикутники зі сторонами, які дорівнюють 5k, 12k, 13k; 8k, 15k, 17k; 7k, 24k, 25k, де k ? N.

Перпендикуляр і похила

Нехай BA — перпендикуляр, опущений із точки B на пряму a, а С — будь-яка точка прямої a, відмінна від A (див. рисунок). Відрізок BC називається похилою, проведеною з точки B до прямої a. Точка С називається основою похилої. Відрізок AС називається проекцією похилої.

Властивості похилих

Теорема. Коли з даної точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції, а з двох похилих більша та, в якої проекція більша.
На рисунку BD, BC, BP — похилі, AB — перпендикуляр, ; ;.

Нерівність трикутника

Теорема. Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більша, ніж сума відстаней від них до третьої точки.
Звідси випливає, що у будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін, але більша за модуль різниці двох інших сторін.

Якщо a, b і c — сторони трикутника (див. рисунок), то
;
;
.

Співвідношення між сторонами й кутом прямокутного трикутника

Нехай ABC — прямокутний трикутник з прямим кутом С і гострим кутом при вершині A, що дорівнює .
Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
На рисунку або .

Синусом кута називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
або .
Тангенсом кута називається відношення протилежного катета до прилеглого:
або .
Котангенсом кута називається відношення прилеглого катета до протилежного:
або .
Значення , , , залежать тільки від величини кута.
З означень випливає, що для гострих кутів і прямокутного трикутника (див. рисунок) маємо:

; ;
; ;
, а також , .
Треба вміти знаходити елементи прямокутного трикутника, якщо дані яка-небудь сторона й один із гострих кутів.
Розглянемо такі задачі.
1. Дано: ; (гіпотенуза і гострий кут).
Знайти: b; a; .
Розв’язання:

; ; .
2. Дано: ;
(катет і прилеглий кут).
Знайти: a; c; .
Розв’язання:
; ; .
3. Дано: ;
(катет і протилежний кут).
Знайти: b; c; .
Розв’язання:
; ; .
Катет, прилеглий до кута , дорівнює добутку гіпотенузи і .
Катет, протилежний куту , дорівнює добутку гіпотенузи і .
Катет, протилежний куту , дорівнює добутку другого катета і .
Основні тригонометричні тотожності, зміну , , при зростанні кута описано в розділі («Алгебра. 10 клас. Тригонометричні функції»).
Значення , , , деяких кутів:

Корисним є знання таких співвідношень.
1. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою й проекцією цього катета на гіпотенузу.
2. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.
На рисунку нижче в трикутнику ABC:

;
;
.
Єгипетський трикутник: сторони дорівнюють 3, 4, 5 одиниць., проведеною з точки