Множення і ділення звичайних дробів

Множення звичайних дробів

Добутком звичайних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників цих дробів, а знаменник дорівнює добутку їхніх знаменників. (Отриманий дріб, як правило, скорочують.)
Наприклад:
.

Щоб помножити дріб на натуральне число, його чисельник помножують на це число, а знаменник залишають без зміни. Наприклад:
; .
Іноді можна скористатися такою властивістю: щоб помножити дріб на натуральне число, достатньо його знаменник поділити на це число, а чисельник залишити без зміни:
.
Щоб виконати множення мішаних дробів, треба їх записати у вигляді неправильних дробів, а потім використати правило множення дробів. Отриманий результат слід, якщо можна, спростити. Наприклад:
.
Щоб помножити мішаний дріб на натуральне число, треба помножити цілу частину мішаного дробу на це число, помножити дробову частину на це число, отримані доданки додати й спростити результат:
.
Множення дробів підпорядковане переставній, сполучній і розподільній властивостям. ; для будь-якого дробового числа а.

Взаємно обернені числа

Два числа, добуток яких дорівнює 1, називають взаємно оберненими.
Наприклад, взаємно оберненими є числа:
і ; 5 і ; 4 і 0,25; і .
Число 1 є оберненим до самого себе. Число 0 не має оберненого.

Ділення звичайних дробів

Щоб поділити один дріб на інший, досить ділене помножити на число, обернене дільнику.
Приклади
1) ;
2) ;
3) ;
4) .

Знаходження дробу від числа і числа за даним значенням його дробу

Щоб знайти дріб від числа, треба число помножити на цей дріб. Наприклад, щоб знайти від :
.
Щоб знайти число за даним значенням його дробу, треба це значення поділити на дріб.
Наприклад, щоб знайти число, якого дорівнюють :
.

Відношення та пропорції

Відношенням двох чисел називається частка цих чисел. Відношення показує, у скільки разів одне число більше від другого або яку частину становить одне число від другого.
Щоб знайти відношення двох величин, вони мають бути виміряні однією й тією ж одиницею вимірювання. Наприклад, відношення 3 км до 50 см дорівнює , тому що 3 км == 300000 см.
Рівність двох відношень називається пропорцією.
Приклади
1) , або .
2) , або .
Читають: а так відноситься до b, як c до d. У наведеному записі числа a і d називають крайніми членами пропорції, а числа b і c — середніми членами. Вважаємо, що a, b, c, d не дорівнюють 0.

Основна властивість пропорції

В істинній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх, і навпаки: якщо добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів, то пропорція істинна.
Приклади

1) — істинна пропорція, оскільки .
2) — неістинна пропорція; дійсно, .
Якщо в істинній пропорції поміняти місцями середні або крайні члени, то отримаємо нові істинні пропорції:
; ; ; .
Якщо три члени істинної пропорції відомі, то невідомий член можна знайти, скориставшись основною властивістю пропорції. Наприклад:
;
;
.

Пряма та обернена пропорційність

Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називаються прямо пропорційними.
Це означає, що при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друга величина.
Приклади прямо пропорційних величин:
1) У випадку руху з постійною швидкістю пройдена відстань прямо пропорційна витраченому часу. (Дійсно, , а швидкість стала.)
2) Якщо купують однаковий товар за фіксованою ціною, вартість товару прямо пропорційна його кількості.
3) Периметр квадрата з довжиною сторони а є прямо пропорційним довжині сторони, оскільки , тобто — стала величина.
Дві змінні величини, добуток відповідних значень яких є сталим, називаються обернено пропорційними.
Це означає, що при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів зменшується (збільшується) друга величина.
Приклади обернено пропорційних величин
1) Якщо пройдена відстань залишається сталою, то витрачений час і швидкість обернено пропорційні. (Дійсно, , а s — стала величина.)
2) Ширина і довжина прямокутника сталої площі: .
3) Час, за який буде виконаний певний обсяг роботи, і кількість робітників.
Зверніть увагу на те, що число відсотків деякої величини прямо пропорційно значенню цієї величини.